Joachim Caspar war Sohn des Kaufmanns Peter Voigt (1685-1749) und Catharina Dorothea, geb. Coldorff (1689.1727). In Hamburg betätigte er sich als Kaufmann und engagierte sich in zahlreichen bürgerlichen Ehrenämtern. 1754 schenkte er das Geld zum Neubau der kleinen St. Michaeliskirche, seit 1755 war er Ratsherr.

Am 14. Juni 1746 heiratete er Anna Margaretha, geb. Coldorff (1727-1800), mit der er 14 Kinder hatte, von denen nur vier das Erwachsenenalter erreichten.