Morgenweg besuchte das Johanneum und das Akademische Gymnasium, wo er auch in die Grundlagen des Hebräischen und der rabbinischen Literatur eingeführt wurde. 1689 bezog er die Universität Leipzig, um dort Theologie zu studieren. 1693–1697 war Morgenweg Katechet (Religionslehrer) und Sonntagsprediger am Hamburger Zuchthaus, 1697–1698 zweiter Pfarrer zu Sülfeld (heute Krs. Segeberg) und schließlich von 1698 bis zu seinem Tode Pastor am Hamburger Waisenhaus. Während seiner Amtszeit machte Morgenweg – nicht immer zur Freude der Verwaltung – Reformvorschläge für diejenige Einrichtung, die er geistlich betreute. An den kirchenpolitischen Zänkereien um den Pietismus, die um 1700 in Hamburg öffentlichkeitswirksam ausgetragen wurden, scheint sich Morgenweg, obwohl theologisch hoch gebildet, nicht beteiligt zu haben. Morgenweg veröffentlichte nur sehr wenig, doch waren seine Editionen der Heiligen Schrift nach Luthers Übersetzung, die zwischen 1707 und 1732 herauskamen, in Hamburg und Umgebung als Familienbibeln geschätzt. Morgenweg betätigte sich auch als Bücher- und Kunstsammler. In erster (heimlich geschlossener, nicht standesgemäßer) Ehe war er mit seinem Beichtkind, der Prinzessin Juliane Luise von Ostfriesland (1657–1715), verheiratet, in zweiter Ehe ab 1716 mit der Pfarrerstochter Juliane Luise Jensen.Das Bild zeigt Titelblatt und Frontispiz eines Exemplars der von Morgenweg herausgegebenen Luther-Bibel in der Ausgabe von 1713. Sie stammt aus der Familie des Staders Pastors Johann Hinrich Mutzenbecher (1731-1772/ Nordkirchenibliothek, Signatur Mi 3152).