Axel Bundsen ist der jüngere Bruder des Malers Jes Bundsen - die Eltern waren der Kaufmann Petter Bondsen und Hedwig, geb. Lund. Nach Beendigung der Schulzeit studierte Axel von 1785 bis 1789 an der Königlich Dänischen Kunstakademie in Kopenhagen Architektur. Hierauf ging er mit Jes auf eine längere Studienreise durch Frankreich und die Schweiz. 1795 erreichten beide Brüder Altona, um sich hier und im benachbarten Hamburg beruflich zu betätigen. Obwohl er 1801 im dänischen Kiel die Tochter des Gärtners vom Gut Knoop heiratete, und damit viele Bauaufträge in Schleswig-Holstein übernahm, blieb Axel in Altona und Hamburg als Architekt weiterhin sehr aktiv.
Von den vier vereinigten Hamburgischen Logen erhielt Bundsen zur Errichtung des Freimaurer-Krankenhauses seinen ersten Bauauftrag. Am 3. Oktober 1795 wurde dieses Haus in der Straße Dammtorwall von dem Freimaurer und Bürgermeister
Johann Heinrich Bartels seiner Bestimmung übergeben. 1800 errichtete er in der Straße Drehbahn das erste Hamburgische Logenhaus. Von 1819 bis 1820 baute er an der Elbchaussee 186 den zweigeschossigen Bau mit großer im Halbkreis vorspringender Säulenloggia - das bekannte "Weiße Säulenhaus". Diese Villa ist heute das letzte in Hamburg noch erhaltene Gebäude von Axel Bundsen. 1830 erhielt er von Senator
Johann Hinrich Rücker den Auftrag, an der Hammer Landstraße ein Herrenhaus zu errichten.